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高考数学一轮复习讲义微专题《06函数的图像》(含详解)

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高考数学一轮复习讲义微专题《06函数的图像》(含详解)

1、微专题06 函数的图像一、基础知识1、做草图需要注意的信息点: 做草图的原则是:速度快且能提供所需要的信息,通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性,对于一个陌生的可导函数,可通过对导函数的符号分析得到单调区间,图像形状依赖于函数的凹凸性,可由二阶导数的符号决定(详见“知识点讲解与分析”的第3点),这两部分确定下来,则函数大致轮廓可定,但为了方便数形结合,让图像更好体现函数的性质,有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来,下面以常见函数为例,来说明作图时常体现的几个信息点(1)一次函数:,若直线不与坐标轴平行,通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线特点:两点确定一

2、条直线信息点:与坐标轴的交点(2)二次函数:,其特点在于存在对称轴,故作图时只需做出对称轴一侧的图像,另一侧由对称性可得。函数先减再增,存在极值点顶点,若与坐标轴相交,则标出交点坐标可使图像更为精确特点:对称性信息点:对称轴,极值点,坐标轴交点(3)反比例函数:,其定义域为,是奇函数,只需做出正版轴图像即可(负半轴依靠对称做出),坐标轴为函数的渐近线特点:奇函数(图像关于原点中心对称),渐近线信息点:渐近线注:(1)所谓渐近线:是指若曲线无限接近一条直线但不相交,则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制,例如在反比例函数中,轴是渐近线,那么当,曲线无限向轴接近,

3、但不相交,则函数在正半轴就不会有轴下方的部分。(2)水平渐近线的判定:需要对函数值进行估计:若(或)时,常数,则称直线为函数的水平渐近线例如: 当时,故在轴正方向不存在渐近线 当时,故在轴负方向存在渐近线(3)竖直渐近线的判定:首先在处无定义,且当时,(或),那么称为的竖直渐近线例如:在处无定义,当时,所以为的一条渐近线。综上所述:在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中:与坐标轴的交点;对称轴与对称中心;极值点;渐近线。例:作出函数的图像分析:定义域为,且为奇函数,故先考虑正半轴情况。故函数单调递增,故函数为上凸函数,当时,无水平渐近线,时,所以轴为的竖直渐近线。零点:,由这些信息可做出

4、正半轴的草图,在根据对称性得到完整图像:2、函数图象变换:设函数,其它参数均为正数(1)平移变换:的图像向左平移个单位:的图像向右平移个单位:的图像向上平移个单位:的图像向下平移个单位(2)对称变换:与的图像关于轴对称:与的图像关于轴对称:与的图像关于原点对称(3)伸缩变换:图像纵坐标不变,横坐标变为原来的 :图像横坐标不变,纵坐标变为原来的(4)翻折变换:即正半轴的图像不变,负半轴的原图像不要,换上与正半轴图像关于轴对称的图像:即轴上方的图像不变,下方的图像沿轴对称的翻上去。3、二阶导函数与函数的凹凸性:(1)无论函数单调增还是单调减,其图像均有3种情况,若一个函数的增减图像为 则称函数为下

5、凸函数若一个函数的增减图像为 则称函数为上凸函数(2)上凸函数特点:增区间增长速度越来越慢,减区间下降速度越来越快 下凸函数特点:增区间增长速度越来越快,减区间下降速度越来越慢(3)与导数的关系:设的导函数为(即的二阶导函数),如图所示:增长速度受每一点切线斜率的变化情况的影响,下凸函数斜率随的增大而增大,即为增函数;上凸函数随的增大而减小,即为减函数;综上所述:函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定,进而能用二阶导函数的符号进行求解。二、方法与技巧:1、在处理有关判断正确图像的选择题中,常用的方法是排除法,通过寻找四个选项的不同,再结合函数的性质即可进行排除,常见的区分要素如下:(1)单调性:

6、导函数的符号决定原函数的单调性,导函数图像位于轴上方的区域表示原函数的单调增区间,位于轴下方的区域表示原函数的单调减区间(2)函数零点周围的函数值符号:可通过带入零点附近的特殊点来进行区分(3)极值点(4)对称性(奇偶性)易于判断,进而优先观察(5)函数的凹凸性:导函数的单调性决定原函数的凹凸性,导函数增区间即为函数的下凸部分,减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定2、利用图像变换作图的步骤:(1)寻找到模板函数(以此函数作为基础进行图像变换)(2)找到所求函数与的联系(3)根据联系制定变换策略,对图像进行变换。例如:作图:第一步寻找模板函数为:第二步寻找联系:可得第三步制定策略:由特点可得:先

11.明清时期,族规需要宗族向地方政府申请批准,(家族)逐步普及了朱熹《家礼》对冠、婚、丧、祭四礼的礼节,族长需要政府委任。据此可知,明清时期A.社会治理能力增强B.宗法社会逐步消解C.儒家伦理得到重塑D.礼法合流趋势加强

1、微专题06 函数的图像一、基础知识1、做草图需要注意的信息点: 做草图的原则是:速度快且能提供所需要的信息,通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性,对于一个陌生的可导函数,可通过对导函数的符号分析得到单调区间,图像形状依赖于函数的凹凸性,可由二阶导数的符号决定(详见“知识点讲解与分析”的第3点),这两部分确定下来,则函数大致轮廓可定,但为了方便数形结合,让图像更好体现函数的性质,有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来,下面以常见函数为例,来说明作图时常体现的几个信息点(1)一次函数:,若直线不与坐标轴平行,通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线特点:两点确定一

2、条直线信息点:与坐标轴的交点(2)二次函数:,其特点在于存在对称轴,故作图时只需做出对称轴一侧的图像,另一侧由对称性可得。函数先减再增,存在极值点顶点,若与坐标轴相交,则标出交点坐标可使图像更为精确特点:对称性信息点:对称轴,极值点,坐标轴交点(3)反比例函数:,其定义域为,是奇函数,只需做出正版轴图像即可(负半轴依靠对称做出),坐标轴为函数的渐近线特点:奇函数(图像关于原点中心对称),渐近线信息点:渐近线注:(1)所谓渐近线:是指若曲线无限接近一条直线但不相交,则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制,例如在反比例函数中,轴是渐近线,那么当,曲线无限向轴接近,

3、但不相交,则函数在正半轴就不会有轴下方的部分。(2)水平渐近线的判定:需要对函数值进行估计:若(或)时,常数,则称直线为函数的水平渐近线例如: 当时,故在轴正方向不存在渐近线 当时,故在轴负方向存在渐近线(3)竖直渐近线的判定:首先在处无定义,且当时,(或),那么称为的竖直渐近线例如:在处无定义,当时,所以为的一条渐近线。综上所述:在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中:与坐标轴的交点;对称轴与对称中心;极值点;渐近线。例:作出函数的图像分析:定义域为,且为奇函数,故先考虑正半轴情况。故函数单调递增,故函数为上凸函数,当时,无水平渐近线,时,所以轴为的竖直渐近线。零点:,由这些信息可做出

4、正半轴的草图,在根据对称性得到完整图像:2、函数图象变换:设函数,其它参数均为正数(1)平移变换:的图像向左平移个单位:的图像向右平移个单位:的图像向上平移个单位:的图像向下平移个单位(2)对称变换:与的图像关于轴对称:与的图像关于轴对称:与的图像关于原点对称(3)伸缩变换:图像纵坐标不变,横坐标变为原来的 :图像横坐标不变,纵坐标变为原来的(4)翻折变换:即正半轴的图像不变,负半轴的原图像不要,换上与正半轴图像关于轴对称的图像:即轴上方的图像不变,下方的图像沿轴对称的翻上去。3、二阶导函数与函数的凹凸性:(1)无论函数单调增还是单调减,其图像均有3种情况,若一个函数的增减图像为 则称函数为下

5、凸函数若一个函数的增减图像为 则称函数为上凸函数(2)上凸函数特点:增区间增长速度越来越慢,减区间下降速度越来越快 下凸函数特点:增区间增长速度越来越快,减区间下降速度越来越慢(3)与导数的关系:设的导函数为(即的二阶导函数),如图所示:增长速度受每一点切线斜率的变化情况的影响,下凸函数斜率随的增大而增大,即为增函数;上凸函数随的增大而减小,即为减函数;综上所述:函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定,进而能用二阶导函数的符号进行求解。二、方法与技巧:1、在处理有关判断正确图像的选择题中,常用的方法是排除法,通过寻找四个选项的不同,再结合函数的性质即可进行排除,常见的区分要素如下:(1)单调性:

6、导函数的符号决定原函数的单调性,导函数图像位于轴上方的区域表示原函数的单调增区间,位于轴下方的区域表示原函数的单调减区间(2)函数零点周围的函数值符号:可通过带入零点附近的特殊点来进行区分(3)极值点(4)对称性(奇偶性)易于判断,进而优先观察(5)函数的凹凸性:导函数的单调性决定原函数的凹凸性,导函数增区间即为函数的下凸部分,减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定2、利用图像变换作图的步骤:(1)寻找到模板函数(以此函数作为基础进行图像变换)(2)找到所求函数与的联系(3)根据联系制定变换策略,对图像进行变换。例如:作图:第一步寻找模板函数为:第二步寻找联系:可得第三步制定策略:由特点可得:先

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