2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛甘肃赛区预赛试题+答案

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1、第 1页，共 3页-密封线之内不能答题-GS31415926中南传媒湖南新教材杯2023年年全全国国中中学学生生数数学学奥奥林林匹匹克克竞竞赛赛（甘甘肃肃赛赛区区预预赛赛）试试题题（考考试试时时间间：2023 年年 6 月月 11 日日 9：0011：30，满满分分 150 分分）题号一111213141516总分得分评分人复核人一一、填填空空题题（共共 1 10 0 小小题题，每每小小题题 7 7 分分，满满分分 7 70 0 分分.请请直直接接将将答答案案写写在在题题中中的的横横线线上上）1.已知123zzz，为复数，且满足1212=|1zzzz，则12|zz.2.设集合2320(Ax a

2、xxaa为非零实数），225420Bxxx，若ABA，则 a 的取值范围是.3.在ABC中，已知23AB ACBA BCCA CBuuu r uuu ruur uuu ruur uur，则cosC的最小值是.4.袋中装有 m 个红球和 n 个白球，mn4.现从中任取两个球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系 m+n40 的数组(m，n)的个数为.5.已知各项均为整数的数列 na满足31a ，74a，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列若正整数m使得1212mmmmmmaaaa aa，则 m=.6.已知点 P 为直线42yx上一动点，过点 P 作椭圆44

3、22yx的两条切线，切点为 A、B，当点 P 运动时，直线 AB 过定点的坐标为7.已知函数2(xf xx e）与()2xg xxea的图象有且只有三个交点，则实数a的取值范围为_.8.已知0.110.1,ln0.9,9aebc=-则a，b，c的大小关系是.9.正四面体ABCD的底面BCD中心为1OAB，以OA为旋转轴将正四面体旋转090，则得到的四面体与原正四面体重合部分的体积为.10.从1,2,3,20中取 k 个不同的数构成集合 M，使得集合 M 中一定有4个不同的数 a，b，c，d 满足abcd能被20整除，则 k 的最小值为年 级市（县）准考证号学 校姓 名性 别年 级第 2页，共

4、3页二、解答题（共 6 小题，满分 80 分.要求写出解题过程）二、解答题（共 6 小题，满分 80 分.要求写出解题过程）11.（13 分）已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且3 cossin2ABbcB（1）求C的大小；（2）若3abc，求sin A12.（13 分）如图，已知长方形ABCD中，21ABAD，,M为DC的中点.将ADM沿AM折起，使得平面ADM 平面ABCM.（1）求证：ADBM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角EAMD的余弦值为5513.（13 分）已知数列na中，12a，且21()2nnnaanNa证明：（1）212nna

5、；（2）12122244222nnnaaaaaa第 3页，共 3页14.（13 分）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第1n次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第1n，2n，3n，次状态是“没有任何关系的”现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n(nN)次操作后，记甲盒子中黑球个数为nX，甲盒中恰有1个黑球的概率为na，恰有2个黑球的概率为nb（1）求1X的分布列；（2）求数列na的通项公式；（3）求nX的数学期望.15.（13 分）已知点F是抛物线2:4C xy与椭圆22221(

6、0)yxabab的公共焦点，椭圆上的点M到点F的最大距离为3（1）求椭圆的方程；（2）过点M作C的两条切线，记切点分别为,A B，求MAB面积的最大值.16.（15 分）已知函数()(2e)lnf xxx，其中e2.71828为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若12,x x（0，1），且21121212lnln2e(lnln)xxxxx xxx，证明：12112e2e 1xx第 1页，共 9页2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（甘肃赛区预赛）试卷年全国中学生数学奥林匹克竞赛（甘肃赛区预赛）试卷参考答案及评分标准一、填空题（共 10 小题，每小题 7 分，满分 70 分。请直接将答案写在题中的横线上）参考答案及评分标准一、填空题（共 10 小题，每小题 7 分，满分 70 分。请直接将答案写在题中的横线上）题号12345答案3942,)1741（-U2331 或 3题号678910答案1(1,)2202(12)eacab62127二、解答题（共 6 小题，满分 80 分。要求写出解题过程）二、解答题（共 6 小题，满分 80 分。要求写出解题过程）11.（13

10.有学者认为:开放厦门等更多的通商口岸、废除行商制度、改革关税税制和税率、在中国沿海占领岛屿、在华实施治外法权、废止对外国人一系列管理措施等,不仅是英人通过不平等条约取得的权益,更是1830年以来在华西方人反复论证、一再要求的目标。该观点意在说明A.中国的顽强抵抗延缓了列强侵略步伐B.鸦片战争是内外部因素共同作用的结果C.资本输出是列强侵略中国的根本动力D.西方列强对中国的侵略有其历史必然性

1、第 1页，共 3页-密封线之内不能答题-GS31415926中南传媒湖南新教材杯2023年年全全国国中中学学生生数数学学奥奥林林匹匹克克竞竞赛赛（甘甘肃肃赛赛区区预预赛赛）试试题题（考考试试时时间间：2023 年年 6 月月 11 日日 9：0011：30，满满分分 150 分分）题号一111213141516总分得分评分人复核人一一、填填空空题题（共共 1 10 0 小小题题，每每小小题题 7 7 分分，满满分分 7 70 0 分分.请请直直接接将将答答案案写写在在题题中中的的横横线线上上）1.已知123zzz，为复数，且满足1212=|1zzzz，则12|zz.2.设集合2320(Ax a

2、xxaa为非零实数），225420Bxxx，若ABA，则 a 的取值范围是.3.在ABC中，已知23AB ACBA BCCA CBuuu r uuu ruur uuu ruur uur，则cosC的最小值是.4.袋中装有 m 个红球和 n 个白球，mn4.现从中任取两个球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系 m+n40 的数组(m，n)的个数为.5.已知各项均为整数的数列 na满足31a ，74a，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列若正整数m使得1212mmmmmmaaaa aa，则 m=.6.已知点 P 为直线42yx上一动点，过点 P 作椭圆44

3、22yx的两条切线，切点为 A、B，当点 P 运动时，直线 AB 过定点的坐标为7.已知函数2(xf xx e）与()2xg xxea的图象有且只有三个交点，则实数a的取值范围为_.8.已知0.110.1,ln0.9,9aebc=-则a，b，c的大小关系是.9.正四面体ABCD的底面BCD中心为1OAB，以OA为旋转轴将正四面体旋转090，则得到的四面体与原正四面体重合部分的体积为.10.从1,2,3,20中取 k 个不同的数构成集合 M，使得集合 M 中一定有4个不同的数 a，b，c，d 满足abcd能被20整除，则 k 的最小值为年 级市（县）准考证号学 校姓 名性 别年 级第 2页，共

4、3页二、解答题（共 6 小题，满分 80 分.要求写出解题过程）二、解答题（共 6 小题，满分 80 分.要求写出解题过程）11.（13 分）已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且3 cossin2ABbcB（1）求C的大小；（2）若3abc，求sin A12.（13 分）如图，已知长方形ABCD中，21ABAD，,M为DC的中点.将ADM沿AM折起，使得平面ADM 平面ABCM.（1）求证：ADBM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角EAMD的余弦值为5513.（13 分）已知数列na中，12a，且21()2nnnaanNa证明：（1）212nna

5、；（2）12122244222nnnaaaaaa第 3页，共 3页14.（13 分）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第1n次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第1n，2n，3n，次状态是“没有任何关系的”现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n(nN)次操作后，记甲盒子中黑球个数为nX，甲盒中恰有1个黑球的概率为na，恰有2个黑球的概率为nb（1）求1X的分布列；（2）求数列na的通项公式；（3）求nX的数学期望.15.（13 分）已知点F是抛物线2:4C xy与椭圆22221(

6、0)yxabab的公共焦点，椭圆上的点M到点F的最大距离为3（1）求椭圆的方程；（2）过点M作C的两条切线，记切点分别为,A B，求MAB面积的最大值.16.（15 分）已知函数()(2e)lnf xxx，其中e2.71828为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若12,x x（0，1），且21121212lnln2e(lnln)xxxxx xxx，证明：12112e2e 1xx第 1页，共 9页2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（甘肃赛区预赛）试卷年全国中学生数学奥林匹克竞赛（甘肃赛区预赛）试卷参考答案及评分标准一、填空题（共 10 小题，每小题 7 分，满分 70 分。请直接将答案写在题中的横线上）参考答案及评分标准一、填空题（共 10 小题，每小题 7 分，满分 70 分。请直接将答案写在题中的横线上）题号12345答案3942,)1741（-U2331 或 3题号678910答案1(1,)2202(12)eacab62127二、解答题（共 6 小题，满分 80 分。要求写出解题过程）二、解答题（共 6 小题，满分 80 分。要求写出解题过程）11.（13