2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛浙江赛区初赛试题+答案

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1、2023 年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共本卷共 1515 道题目，道题目，1212 道填空题，道填空题，3 3 道解答题，所有答案填写在答题纸上，满道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分分150150 分。分。一、填空题（每小题一、填空题（每小题 8 8 分，共计分，共计 9696 分）分）1.1.已知集合220SxxxaR，若1S，则实数a _。答案答案：1.解 将1代入方程220 xxa，得1a 2 2.函数(sin1)(cos1)()sin cos2xxf xxx在(0,上的最小值为_。答案答案：32 2.解 令sincos,12,txxt 则则2()132 21f

2、xt。3 3.已知四面体SABC，点1A为三角形SBC的重心，G在线段1AA上，13AGGA，连接SG交三角形ABC所在的平面于M,则1AMAS_。答案答案：13.解解 由于1SAGMA、共面，知M为三角形ABC的重心，由此得1AMAS13。4.4.已知关于x的方程22221232123xxxxxa存在四个不同的实根，则实数a的取值范围为_。答案答案：(4,8)解解2222212321232xxxxxxxa将原方程变形程为22221(21232123)22axxxxxxx22max2,1232axxxx2212max2,1232axxxx考虑函数y与y的交点个数2424,822aaxyxyxa

3、可知y于与时达到极值，所以2即45.设函数()(f z z为复数）满足2()()f f zzzzz。若(1)0,f则()1f i _答案答案：1.解(i)1,(i)(1)0,ffffff于是另一方面2(i)=()()()()f f ff i f if if i（，所以()()()()0,()1)()1)1,()11f i f if if if if if i即(即6.已知,m n k为正整数，若存在正整数对(,)a b 满足222(1)4()44(1)3a nma nmab k，则mnk 可能值的个数为_。答案答案：4222(2)(2)(1)3,mna nb k解 配方得得到以下情况：20,2

4、0,10(,)(1,2,1)mnnkm n k 21,20,10,mnnk 无整数解20,21,10,mnnk 无整数解20,20,11(,)(1,2,2)mnnkm n k 21,20,11,mnnk 无整数解20,21,11,mnnk 无整数解21,21,10(,)(2,3,1),(1,3,1),(1,1,1)mnnkm n k mnk综上，的可能值为3,4,5,67.已知,a b cC，且2223333,6,abcabcabc则202320232023(1)(1)(1)abc_。答案答案：0解由已知可以得到3(1)1a，3(1)1b，3(1)1c，结合已知条件可得202320232023

5、(1)(1)(1)0abc8.8.已知数列na满足111,1,2,32(21)(25)nnnaaannna，则20231iia_。答案答案20234047解由已知得2211111(4(11)=(41)=(41)nnnnnaaa）2（）2（）=0,所以20232112023,1,2,414047niianan9.9.设,a b 为两个垂直的平面向量，且210ab。当01t 时，记向量(1)tat b与向量1()(1)5tat b最大夹角为，则cos_。答案：2 55解解 设(0,10),(5,0)ab，则(1)(5(1)10)tat btt，1()(1)(5(1)102)5tat btt，210

6、1021015(1)5(1)tan10(102)8021125(1180(5(1)1ttttttttt）+2 5cos5，于是另解另解 设(10,0),(0,5)ab（记为A点）（记为B点），则(1)(10,5(1)tat btt就是OP OPAB（为原点，为线段上一点）11()(1)(10(),5(1)55tat btt，就是(2,0CP C 点坐标（）),OP,CPOPCAB 的夹角最大，即以、为顶点的圆与相切。由此求得cos2 5510.10.设12345,a aa aa是数字1,2,3,4,5的排列。若不存在15ijk 成立,ijkaaa，则所有这样的排列数有_种。答案：答案：42.解先考虑 1,2,3,4 四个数字满足条件的排列为 14 个（4312,4321,4231,4213,4132,3412,3421,3214,3241,3142,2143,2413,2431,1432）然后考虑数字 5 插入每种类型的情形，共 42 种。11.11.设n个正数12,na aa满足122023naaa，M为11,2023aa21212,20232023nnaaaaaaa中的最大值，则M

1.考古学家在山东滕州岗上遗址发现的共12座墓葬均为土坑竖穴墓,随葬品有象征军权的玉石钺,而从随葬的钺的数量、材质、体量可明显看出身份等级的差异。大中型墓葬有大量陶器及较多玉器出土。据此可知,岗上遗址属于A.旧石器时代B.新石器时代C.奴隶社会时期D.封建社会早期

1、2023 年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共本卷共 1515 道题目，道题目，1212 道填空题，道填空题，3 3 道解答题，所有答案填写在答题纸上，满道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分分150150 分。分。一、填空题（每小题一、填空题（每小题 8 8 分，共计分，共计 9696 分）分）1.1.已知集合220SxxxaR，若1S，则实数a _。答案答案：1.解 将1代入方程220 xxa，得1a 2 2.函数(sin1)(cos1)()sin cos2xxf xxx在(0,上的最小值为_。答案答案：32 2.解 令sincos,12,txxt 则则2()132 21f

2、xt。3 3.已知四面体SABC，点1A为三角形SBC的重心，G在线段1AA上，13AGGA，连接SG交三角形ABC所在的平面于M,则1AMAS_。答案答案：13.解解 由于1SAGMA、共面，知M为三角形ABC的重心，由此得1AMAS13。4.4.已知关于x的方程22221232123xxxxxa存在四个不同的实根，则实数a的取值范围为_。答案答案：(4,8)解解2222212321232xxxxxxxa将原方程变形程为22221(21232123)22axxxxxxx22max2,1232axxxx2212max2,1232axxxx考虑函数y与y的交点个数2424,822aaxyxyxa

3、可知y于与时达到极值，所以2即45.设函数()(f z z为复数）满足2()()f f zzzzz。若(1)0,f则()1f i _答案答案：1.解(i)1,(i)(1)0,ffffff于是另一方面2(i)=()()()()f f ff i f if if i（，所以()()()()0,()1)()1)1,()11f i f if if if if if i即(即6.已知,m n k为正整数，若存在正整数对(,)a b 满足222(1)4()44(1)3a nma nmab k，则mnk 可能值的个数为_。答案答案：4222(2)(2)(1)3,mna nb k解 配方得得到以下情况：20,2

4、0,10(,)(1,2,1)mnnkm n k 21,20,10,mnnk 无整数解20,21,10,mnnk 无整数解20,20,11(,)(1,2,2)mnnkm n k 21,20,11,mnnk 无整数解20,21,11,mnnk 无整数解21,21,10(,)(2,3,1),(1,3,1),(1,1,1)mnnkm n k mnk综上，的可能值为3,4,5,67.已知,a b cC，且2223333,6,abcabcabc则202320232023(1)(1)(1)abc_。答案答案：0解由已知可以得到3(1)1a，3(1)1b，3(1)1c，结合已知条件可得202320232023

5、(1)(1)(1)0abc8.8.已知数列na满足111,1,2,32(21)(25)nnnaaannna，则20231iia_。答案答案20234047解由已知得2211111(4(11)=(41)=(41)nnnnnaaa）2（）2（）=0,所以20232112023,1,2,414047niianan9.9.设,a b 为两个垂直的平面向量，且210ab。当01t 时，记向量(1)tat b与向量1()(1)5tat b最大夹角为，则cos_。答案：2 55解解 设(0,10),(5,0)ab，则(1)(5(1)10)tat btt，1()(1)(5(1)102)5tat btt，210

6、1021015(1)5(1)tan10(102)8021125(1180(5(1)1ttttttttt）+2 5cos5，于是另解另解 设(10,0),(0,5)ab（记为A点）（记为B点），则(1)(10,5(1)tat btt就是OP OPAB（为原点，为线段上一点）11()(1)(10(),5(1)55tat btt，就是(2,0CP C 点坐标（）),OP,CPOPCAB 的夹角最大，即以、为顶点的圆与相切。由此求得cos2 5510.10.设12345,a aa aa是数字1,2,3,4,5的排列。若不存在15ijk 成立,ijkaaa，则所有这样的排列数有_种。答案：答案：42.解先考虑 1,2,3,4 四个数字满足条件的排列为 14 个（4312,4321,4231,4213,4132,3412,3421,3214,3241,3142,2143,2413,2431,1432）然后考虑数字 5 插入每种类型的情形，共 42 种。11.11.设n个正数12,na aa满足122023naaa，M为11,2023aa21212,20232023nnaaaaaaa中的最大值，则M