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高考数学二轮复习培优专题第23讲圆锥曲线中定点定值定直线问题

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高考数学二轮复习培优专题第23讲圆锥曲线中定点定值定直线问题

1、第23讲 圆锥曲线中定点定值定直线问题【考点分析】考点一:直线过定点问题设直线为,根据题目给出的条件找出与之间的关系即可求出两点的坐标(一般含参数),再求出直线的斜率,利用点斜式写出直线的方程,再化为的形式,即可求出定点。考点二:定值问题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.求斜率,面积等定值问题,把斜率之和,之积,面积化为坐标之间的关系,再用韦达定理带入化简一般即可得到定值考点三:定直线问题一般设出点的坐标,写出两条直线的方程,两直线的交点及两个直线中的相同,然后再用

2、韦达定理带入化简即可得的关系即为定直线【题型目录】题型一:直线圆过定点问题题型二:斜率面积等定值问题题型三:定直线问题【典型例题】题型一:直线过定点问题【例1】已知点在椭圆上,椭圆C的左右焦点分别为,的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A,B在椭圆C上,直线PA,PB均与圆相切,记直线PA,PB的斜率分别为,.(i)证明:;(ii)证明:直线AB过定点.【答案】(1),(2)(i)证明见解析;(ii)证明见解析【分析】(1)利用,结合三角形的面积公式,求出,即可求椭圆的方程.(2) (i)设直线的方程为,直线的方程为,由题意可知,可得是方程的两根,利用韦达定理即可证明.(ii)设直线的方

3、程为,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合,可得与的关系式,即可证明直线过定点.(1)解:由题知,的面积等于,所以,解得,所以,椭圆C的方程为.(2)(i)设直线PA的方程为,直线PB的方程为,由题知,所以,所以,同理,所以,是方程的两根,所以.(ii)设,设直线AB的方程为,将代入得,所以,所以,又因为,将代入,化简得,所以,所以,若,则直线,此时AB过点P,舍去.若,则直线,此时AB恒过点,所以直线AB过定点.【例2】已知椭圆的离心率为,一个焦点与抛物线的焦点重合(1)求椭圆的方程;(2)若直线交于两点,直线与关于轴对称,证明:直线恒过一定点【答案】(1);(2)详见解析.【分析】(1)由题可

4、得,进而可得,即得;(2)利用韦达定理法,利用斜率互为相反数得与的一次关系即得.(1)由,可得,又离心率为,椭圆C的方程为.(2)设,由,可得,可得,由直线与关于轴对称,即,即,可得,所以直线方程为,恒过定点.【例3】已知椭圆的上顶点为,右顶点为,其中的面积为1(为原点),椭圆离心率为(1)求椭圆的方程;(2)若不经过点的直线与椭圆交于,两点,且,求证:直线过定点【答案】(1);(2)证明见解析【分析】(1)根据的关系求椭圆方程;(2)利用韦达定理结合的坐标表示,即可求定点.【详解】(1)由已知得:,又,解得:,故椭圆的方程为.(2)证明:当直线的斜率不存在时,不满足的条件当直线的斜率存在时,

5、设的方程为,联立,消去整理得:,得设,则,由,得,又,所以由得,化简得,解得(舍),满足此时的方程为,故直线过定点【例4】已知椭圆C:过点右焦点为F,纵坐标为的点M在C上,且AFMF(1)求C的方程;(2)设过A与x轴垂直的直线为l,纵坐标不为0的点P为C上一动点,过F作直线PA的垂线交l于点Q,证明:直线PQ过定点【答案】(1);(2)过定点;证明过程见详解【分析】(1)由题可得,结合条件可知,将点的坐标代入椭圆的方程,即可得解;(2)设点,求出点的坐标,写出直线的方程,结合条件变形即得.【详解】(1)设点,其中,则,因为椭圆过点,则,将点的坐标代入椭圆的方程得,所以,解得,因此椭圆的标准方程为;(2)设点, 则,所以直线的垂线的斜率为,由题可知,故直线的方程为,在直线的方程中,令,可得,即点,所以直线的方程为,即,因为,所以,所以,所以,所以直线过定点【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的

(3)ATP是一种高能磷酸化合物,其结构简式是;对于人体细胞,合成ATP的场所有;对于绿色植物,ADP转化成ATP过程所需的能量来源有。

1、第23讲 圆锥曲线中定点定值定直线问题【考点分析】考点一:直线过定点问题设直线为,根据题目给出的条件找出与之间的关系即可求出两点的坐标(一般含参数),再求出直线的斜率,利用点斜式写出直线的方程,再化为的形式,即可求出定点。考点二:定值问题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.求斜率,面积等定值问题,把斜率之和,之积,面积化为坐标之间的关系,再用韦达定理带入化简一般即可得到定值考点三:定直线问题一般设出点的坐标,写出两条直线的方程,两直线的交点及两个直线中的相同,然后再用

2、韦达定理带入化简即可得的关系即为定直线【题型目录】题型一:直线圆过定点问题题型二:斜率面积等定值问题题型三:定直线问题【典型例题】题型一:直线过定点问题【例1】已知点在椭圆上,椭圆C的左右焦点分别为,的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A,B在椭圆C上,直线PA,PB均与圆相切,记直线PA,PB的斜率分别为,.(i)证明:;(ii)证明:直线AB过定点.【答案】(1),(2)(i)证明见解析;(ii)证明见解析【分析】(1)利用,结合三角形的面积公式,求出,即可求椭圆的方程.(2) (i)设直线的方程为,直线的方程为,由题意可知,可得是方程的两根,利用韦达定理即可证明.(ii)设直线的方

3、程为,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合,可得与的关系式,即可证明直线过定点.(1)解:由题知,的面积等于,所以,解得,所以,椭圆C的方程为.(2)(i)设直线PA的方程为,直线PB的方程为,由题知,所以,所以,同理,所以,是方程的两根,所以.(ii)设,设直线AB的方程为,将代入得,所以,所以,又因为,将代入,化简得,所以,所以,若,则直线,此时AB过点P,舍去.若,则直线,此时AB恒过点,所以直线AB过定点.【例2】已知椭圆的离心率为,一个焦点与抛物线的焦点重合(1)求椭圆的方程;(2)若直线交于两点,直线与关于轴对称,证明:直线恒过一定点【答案】(1);(2)详见解析.【分析】(1)由题可

4、得,进而可得,即得;(2)利用韦达定理法,利用斜率互为相反数得与的一次关系即得.(1)由,可得,又离心率为,椭圆C的方程为.(2)设,由,可得,可得,由直线与关于轴对称,即,即,可得,所以直线方程为,恒过定点.【例3】已知椭圆的上顶点为,右顶点为,其中的面积为1(为原点),椭圆离心率为(1)求椭圆的方程;(2)若不经过点的直线与椭圆交于,两点,且,求证:直线过定点【答案】(1);(2)证明见解析【分析】(1)根据的关系求椭圆方程;(2)利用韦达定理结合的坐标表示,即可求定点.【详解】(1)由已知得:,又,解得:,故椭圆的方程为.(2)证明:当直线的斜率不存在时,不满足的条件当直线的斜率存在时,

5、设的方程为,联立,消去整理得:,得设,则,由,得,又,所以由得,化简得,解得(舍),满足此时的方程为,故直线过定点【例4】已知椭圆C:过点右焦点为F,纵坐标为的点M在C上,且AFMF(1)求C的方程;(2)设过A与x轴垂直的直线为l,纵坐标不为0的点P为C上一动点,过F作直线PA的垂线交l于点Q,证明:直线PQ过定点【答案】(1);(2)过定点;证明过程见详解【分析】(1)由题可得,结合条件可知,将点的坐标代入椭圆的方程,即可得解;(2)设点,求出点的坐标,写出直线的方程,结合条件变形即得.【详解】(1)设点,其中,则,因为椭圆过点,则,将点的坐标代入椭圆的方程得,所以,解得,因此椭圆的标准方程为;(2)设点, 则,所以直线的垂线的斜率为,由题可知,故直线的方程为,在直线的方程中,令,可得,即点,所以直线的方程为,即,因为,所以,所以,所以,所以直线过定点【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的

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